Há a opção de calcular por desenvolvimento de série de Taylor, mas os valores só se aproximam do valor exato depois de muitos termos e só fica viável por computador.
Outra opção, se você não for muito exigente quanto a precisão, seria calcular o valor do comprimento do arco de um ângulo bem pequeno, que é aproximadamente igual ao seu seno e, a partir daí, aplicar a fórmula de soma de ângulos. Por exemplo, vamos começar pelo seno de 1 grau.
O comprimento do arco de 1 grau é igual ao seu valor em radianos (para raio igual a 1):
1 grau= 1.PI/180=0,0174532292, que é aproximadamente igual ao sen(1)=0,017452406.
Considerando sen(1)=0,017453, podemos calcular o cos(1):
cos(1)=raiz[1-sen²(1)]=0,999847684 que é aproximadamente igual a cos(1)=0,999847695.
Considerando sen(1)=0,017453 e cos(1)=0,9998476, podemos calcular sen(2):
sen(2)=2.sen(1).cos(1)=0,034900683
que é aproximadamente igual a sen(2)=0,034899496
cos(2)=raiz[1-sen²(2)]=0,999390785
sen(4)=2.sen(2).cos(2)=0,069757
cos(4)=raiz[1-sen²(4)]=0,997564
sen(5)=sen(4+1)=
=sen(4).cos(1)+sen(1).cos(4)=
=0,087156853
que é aproximadamente igual ao sen(5) calculado na máquina (0,087155742).
cos(5)=raiz[1-sen²(5)]=0,9961947
tan(5)=sen(5)/cos(5)=0,0874889
sec(5)=1/cos(5)=1,00381984
cossec(5)=1/sen(5)=11,4737
É trabalhoso, mas dá para calcular.